Calculadora de esperanza matemática y criterio de Kelly
Convierte un porcentaje de aciertos y una ganancia y una pérdida medias en esperanza matemática, factor de beneficio y fracción de Kelly, y comprueba lo frágil que es esa fracción.
Los cálculos se hacen en tu navegador. Nada de lo que escribas se envía ni se guarda. Los resultados son estimaciones solo con fines informativos, no asesoramiento de inversión.
Cómo funciona
La esperanza matemática es el resultado medio de una operación. Con un porcentaje de aciertos p, una ganancia media W, una pérdida media Ls y un coste c en cada operación:
Esperanza matemática = p × (W − c) − (1 − p) × (Ls + c)
Factor de beneficio = p × (W − c) ÷ ((1 − p) × (Ls + c))
El criterio de Kelly plantea otra pregunta: si repites la misma apuesta muchas veces, ¿qué parte de tu capital deberías arriesgar cada vez para que crezca lo más rápido posible? Con b = (W − c) ÷ (Ls + c) como ratio de pago, la respuesta es:
Fracción de Kelly = p − (1 − p) ÷ b
Aquí el «riesgo» es la cantidad que pierdes cuando una operación pierde. Si el resultado es cero o negativo, la apuesta no tiene ventaja y ningún tamaño hace que crezca. Medio y cuarto de Kelly son las formas habituales de reducir el tamaño, porque los datos de entrada son estimaciones.
Ejemplo resuelto
La página se abre con un porcentaje de aciertos del 55 % y con ganancias y pérdidas medias iguales. La esperanza matemática es 0,55 × 1 − 0,45 × 1 = 0,10 por unidad arriesgada, el factor de beneficio es 1,22 y la fracción de Kelly es 0,55 − 0,45 ÷ 1 = 10 % del capital. Medio Kelly equivale a 5 % y un cuarto de Kelly a 2,5 %. Si el porcentaje de aciertos real es 50 % en lugar de 55 %, la fracción de Kelly cae a 0 %: un error de cinco puntos elimina toda la ventaja. Si se añade un coste de 0,05 en cada operación, la esperanza matemática baja a 0,05, el ratio de pago a 0,90 y la fracción de Kelly a 5,3 %.
Fracción de Kelly según el porcentaje de aciertos y el ratio de pago
| Porcentaje de aciertos | Ratio de pago 1 | Ratio de pago 1,5 | Ratio de pago 2 | Ratio de pago 3 |
|---|---|---|---|---|
| 40 % | 0 % | 0,0 % | 10,0 % | 20,0 % |
| 45 % | 0 % | 8,3 % | 17,5 % | 26,7 % |
| 50 % | 0 % | 16,7 % | 25,0 % | 33,3 % |
| 55 % | 10,0 % | 25,0 % | 32,5 % | 40,0 % |
| 60 % | 20,0 % | 33,3 % | 40,0 % | 46,7 % |
Destacan dos cosas. Un porcentaje de aciertos alto con un ratio de pago pequeño da una cifra pequeña, y un porcentaje de aciertos bajo con un ratio de pago grande puede dar una mayor. Además, toda la tabla da por hecho que conoces el porcentaje de aciertos. Cuánto se tarda en conocerlo se explica en la calculadora de operaciones necesarias, y los riesgos de apostar el Kelly completo están en por qué el Kelly completo es una trampa en la práctica.
Preguntas
¿Qué es el criterio de Kelly?
Es una fórmula de la década de 1950 que da el tamaño de apuesta que maximiza la tasa de crecimiento del capital a largo plazo cuando se conocen las cuotas y las probabilidades. Dimensiona cada apuesta como una proporción del capital actual.
¿Por qué se usa medio Kelly o menos?
Porque los datos de partida son estimaciones y el Kelly completo es muy sensible a ellos. Sobrestimar el porcentaje de aciertos en unos pocos puntos puede convertir una apuesta con crecimiento en una apuesta perdedora, y además el Kelly completo produce grandes drawdowns incluso cuando las estimaciones son correctas.
¿Se aplica Kelly al trading?
Solo de forma aproximada. Supone apuestas independientes con cuotas fijas y un porcentaje de aciertos conocido. Las operaciones están correlacionadas, los pagos varían y el porcentaje de aciertos hay que estimarlo a partir de una muestra pequeña. Nuestro estudio sobre cuánto tiempo hace falta para demostrar una estrategia arrojó unos 34 meses de operaciones en vivo para una regla de tendencia típica.
¿Qué diferencia hay entre la esperanza matemática y la fracción de Kelly?
La esperanza matemática indica si la operación media gana dinero y cuánto. La fracción de Kelly indica qué tamaño dar a cada operación si se quiere maximizar el crecimiento. Una esperanza matemática positiva es necesaria para que la fracción de Kelly sea positiva, pero no hace seguro un tamaño grande.