Calculadora de expectativa matemática e critério de Kelly
Transforme uma taxa de acerto e um ganho e uma perda médios em expectativa matemática, fator de lucro e fração de Kelly, e veja como essa fração é frágil.
Os cálculos são feitos no seu navegador. Nada do que você digita é enviado nem armazenado. Os resultados são estimativas, apenas para fins informativos, e não são recomendação de investimento.
Como funciona
A expectativa matemática é o resultado médio de uma operação. Com taxa de acerto p, ganho médio W, perda média Ls e um custo c em cada operação:
Expectativa matemática = p × (W − c) − (1 − p) × (Ls + c)
Fator de lucro = p × (W − c) ÷ ((1 − p) × (Ls + c))
O critério de Kelly faz uma pergunta diferente: se você repetir a mesma aposta muitas vezes, que parcela do seu capital deve arriscar a cada vez para que ele cresça o mais rápido possível? Com b = (W − c) ÷ (Ls + c) como razão de payoff, a resposta é:
Fração de Kelly = p − (1 − p) ÷ b
Aqui o “risco” é o valor que você perde quando uma operação perde. Se o resultado for zero ou negativo, a aposta não tem vantagem e nenhum tamanho a faz crescer. Meio Kelly e um quarto de Kelly são as formas habituais de reduzir o tamanho, porque os dados de entrada são estimativas.
Exemplo prático
A página abre com uma taxa de acerto de 55% e ganhos e perdas médios iguais. A expectativa matemática é 0,55 × 1 − 0,45 × 1 = 0,10 por unidade arriscada, o fator de lucro é 1,22 e a fração de Kelly é 0,55 − 0,45 ÷ 1 = 10% do capital. Meio Kelly é 5% e um quarto de Kelly, 2,5%. Se a taxa de acerto verdadeira for 50% em vez de 55%, a fração de Kelly cai para 0%: um erro de cinco pontos percentuais elimina toda a vantagem. Some um custo de 0,05 em cada operação e a expectativa matemática cai para 0,05, a razão de payoff para 0,90 e a fração de Kelly para 5,3%.
Fração de Kelly por taxa de acerto e payoff
| Taxa de acerto | Payoff 1 | Payoff 1,5 | Payoff 2 | Payoff 3 |
|---|---|---|---|---|
| 40% | 0% | 0,0% | 10,0% | 20,0% |
| 45% | 0% | 8,3% | 17,5% | 26,7% |
| 50% | 0% | 16,7% | 25,0% | 33,3% |
| 55% | 10,0% | 25,0% | 32,5% | 40,0% |
| 60% | 20,0% | 33,3% | 40,0% | 46,7% |
Duas coisas chamam a atenção. Uma taxa de acerto alta com payoff pequeno dá um número pequeno, e uma taxa de acerto baixa com payoff grande pode dar um número maior. Além disso, a tabela inteira pressupõe que você conhece a taxa de acerto. O tempo necessário para isso é tratado na calculadora de operações necessárias, e os riscos de apostar o Kelly completo estão em por que o Kelly completo é uma armadilha na prática.
Perguntas
O que é o critério de Kelly?
É uma fórmula da década de 1950 para o tamanho da aposta que maximiza a taxa de crescimento do capital no longo prazo quando as odds e as probabilidades são conhecidas. Ela dimensiona cada aposta como uma parcela do capital atual.
Por que as pessoas usam meio Kelly ou menos?
Porque os dados de entrada são estimativas e o Kelly completo é muito sensível a eles. Superestimar a taxa de acerto em alguns pontos pode transformar uma aposta que faz o capital crescer em uma aposta perdedora, e o Kelly completo também gera grandes drawdowns mesmo quando as estimativas estão certas.
O critério de Kelly vale para trading?
Só de forma aproximada. Ele pressupõe apostas independentes, com odds fixas e uma taxa de acerto conhecida. As operações são correlacionadas, os payoffs variam e a taxa de acerto precisa ser estimada a partir de uma amostra pequena. Nosso estudo sobre quanto tempo leva para comprovar uma estratégia encontrou cerca de 34 meses de operações reais para uma regra de seguimento de tendência típica.
Qual é a diferença entre expectativa matemática e fração de Kelly?
A expectativa matemática diz se a operação média ganha dinheiro e quanto. A fração de Kelly diz qual deve ser o tamanho de cada operação se você quiser maximizar o crescimento. Uma expectativa matemática positiva é necessária para uma fração de Kelly positiva, mas não torna seguro um tamanho grande.