Transformez un taux de réussite, un gain moyen et une perte moyenne en espérance de gain, facteur de profit et fraction de Kelly, et voyez à quel point cette fraction est fragile.

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Fonctionnement

L'espérance de gain est le résultat moyen d'un trade. Avec un taux de réussite p, un gain moyen W, une perte moyenne L_s et un coût c sur chaque trade :

Espérance de gain = p × (W − c) − (1 − p) × (L_s + c)

Facteur de profit = p × (W − c) ÷ ((1 − p) × (L_s + c))

Le critère de Kelly pose une question différente : si vous répétez de nombreuses fois le même pari, quelle part de votre capital faut-il risquer à chaque fois pour le faire croître le plus vite possible ? Avec b = (W − c) ÷ (L_s + c) comme ratio de gain moyen sur perte moyenne (payoff), la réponse est :

Fraction de Kelly = p − (1 − p) ÷ b

Ici, le « risque » est le montant que vous perdez quand un trade est perdant. Si le résultat est nul ou négatif, le pari n'a aucun avantage et aucune taille ne le fait croître. Le demi-Kelly et le quart de Kelly sont les moyens habituels de réduire la taille, car les données saisies sont des estimations.

Exemple détaillé

La page s'ouvre sur un taux de réussite de 55 % avec des gains et des pertes moyens égaux. L'espérance de gain est de 0,55 × 1 − 0,45 × 1 = 0,10 par unité risquée, le facteur de profit de 1,22, et la fraction de Kelly de 0,55 − 0,45 ÷ 1 = 10 % du capital. Le demi-Kelly vaut 5 % et le quart de Kelly 2,5 %. Si le vrai taux de réussite est de 50 % au lieu de 55 %, la fraction de Kelly tombe à 0 % : une erreur de cinq points supprime tout l'avantage. Ajoutez un coût de 0,05 sur chaque trade et l'espérance de gain tombe à 0,05, le ratio de payoff à 0,90 et la fraction de Kelly à 5,3 %.

Fraction de Kelly selon le taux de réussite et le payoff

Kelly complet en part du capital risqué par trade, sans coûts. 0 % signifie aucun avantage.
Taux de réussite	Payoff 1	Payoff 1,5	Payoff 2	Payoff 3
40 %	0 %	0,0 %	10,0 %	20,0 %
45 %	0 %	8,3 %	17,5 %	26,7 %
50 %	0 %	16,7 %	25,0 %	33,3 %
55 %	10,0 %	25,0 %	32,5 %	40,0 %
60 %	20,0 %	33,3 %	40,0 %	46,7 %

Deux choses ressortent. Un taux de réussite élevé avec un petit payoff donne un petit chiffre, et un faible taux de réussite avec un gros payoff peut en donner un plus grand. Et tout le tableau suppose que vous connaissez le taux de réussite. Le temps nécessaire pour l'établir est traité dans le calculateur de trades nécessaires, et les risques de miser le Kelly complet sont expliqués dans pourquoi le Kelly complet est un piège en pratique.

Questions

Qu'est-ce que le critère de Kelly ?

C'est une formule des années 1950 qui donne la taille de mise maximisant le taux de croissance à long terme du capital lorsque les cotes et les probabilités sont connues. Elle dimensionne chaque mise comme une part du capital du moment.

Pourquoi utilise-t-on le demi-Kelly ou moins ?

Parce que les données d'entrée sont des estimations et que le Kelly complet y est très sensible. Surestimer le taux de réussite de quelques points peut transformer une mise qui fait croître le capital en mise perdante, et le Kelly complet provoque en plus de forts drawdowns, même quand les estimations sont justes.

Le critère de Kelly s'applique-t-il au trading ?

Seulement de façon approximative. Il suppose des paris indépendants, à cotes fixes, avec un taux de réussite connu. Or les trades sont corrélés, les gains varient, et le taux de réussite doit être estimé sur un petit échantillon. Notre étude sur le temps qu'il faut pour prouver une stratégie a abouti à environ 34 mois de trades réels pour une règle de suivi de tendance typique.

Quelle est la différence entre l'espérance de gain et la fraction de Kelly ?

L'espérance de gain indique si le trade moyen rapporte de l'argent, et combien. La fraction de Kelly indique quelle taille donner à chaque trade si l'on veut maximiser la croissance. Une espérance de gain positive est nécessaire pour obtenir une fraction de Kelly positive, mais elle ne rend pas une grande taille sûre.

Calculateur d'espérance de gain et du critère de Kelly